Orbite

L’Almagesto, opera del celebre astronomo alessandrino Tolomeo, espone una completa teoria geometrica dei moti planetari.

Questa grande opera fu compilata nel II secolo d.C. con il nome di Sistemamatematico  del  mondo  ed  era basata sulle  osservazioni  e  le  idee  diastronomi precedenti.

Alla  base della costruzione di Tolomeo stanno le due  antiche  concezioni che  la  terra  doveva stare immobile nel centro del mondo e  che  tutti  i movimenti celesti dovevano essere dei moti circolari uniformi.

Poichè il Sole e la Luna non dimostrano una velocità angolare uniforme, Tolomeo non fa coincidere con la Terra il centro del circolo descritto dal Sole ma lo pone, secondo la concezione di Ipparco, esterno alla Terra in modo che quando il Sole è al punto P (perigeo) (fig. 1)

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la sua velocità angolare a/T è massima e quando è in A (apogeo) essa è minima.

La linea  AP  è la linea degli absidi. Questo cerchio veniva chiamato eccentrico. Il rapporto CT/R (R raggio dell’orbita) era chiamato eccentricità dell’orbita e poteva essere calcolato facilmente mediante l’osservazione  degli  angoli a e b descritti dal Sole  in  prossimità  del perigeo e dell’apogeo rispettivamente, in uno stesso tempo. L’arco doveva essere uguale nei due casi per la supposta uniformità del moto, quindi:

(TP/TA)=(r-c)/(r+c)=b/a, da cui l’elettricità e=c/r=(a-b)/(a+b)

Le osservazioni fornivano in questo modo e=0,036 e se Tolomeo avesse conosciuto  le  distanze  TA  e  TP  si  sarebbe  accorto  che  il   valore dell’eccentricità ottenuto dalle misure è la metà di quello così calcolato e  avrebbe  con ciò compreso che il moto uniforme sul  circolo  non  poteva essere esatto.

Per i cinque pianeti Tolomeo immagina che il moto sia la combinazione di due moti circolari. (fig. 2)

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Sull’epiciclo  il  moto  del pianeta R era supposto uniforme,  ma  per  il centro  dell’epiciclo  C1, era necessario ammettere un moto  variabile  sul deferente.

Per mantenere il carattere di uniformità del moto egli dovette individuare un punto M detto equante che stava ancora oltre il centro del deferente.

Con questo sistema Tolomeo riusciva a spiegare sia qualitativamente che quantitativamente  tutte  le  fasi  del moto apparente  e  le  sue  formule servivano  per le rappresentazioni delle posizioni osservate dei pianeti  e per il calcolo di posizioni del passato e del futuro come oggi servono le formule dei moti kepleriani.

La teoria eliocentrica dovuta a Copernico con l’opera De revolutionibus orbium coelestium (1543) è basata su due concezioni.

1) Il moto di rotazione diurna del cielo è soltanto apparente e causato da una rotazione diurna della Terra sferica attorno ad un asse passante per il suo centro.

2) La Terra è pure un pianeta e circola come gli altri intorno al Sole.

Copernico mantiene l’assioma dei moti circolari uniformi.

L’obiezione principale a questo sistema derivò dal fatto che la Terra pur passando da un punto della sua orbita a quello diametralmente opposto non causava alcuna variazione nelle direzioni delle stelle.

Questo fatto indusse Copernico a ritenere che le distanze delle stelle devono essere grandissime e quindi l’angolo sotto cui è visto da una stella il diametro dell’orbita terrestre (cioè la parallasse annua) doveva essere piccolissimo e inaccessibile alle misure del suo tempo.

Copernico non poteva dare una dimostrazione della realtà del suo sistema perché non erano ancora conosciuti i fenomeni dell’aberrazione e delle oscillazioni pendolari.

Ticone Brahe, l’ultimo e più degno rappresentante dell’osservazione senza cannocchiale,  fu  un  oppositore della teoria  eliocentrica  che  riteneva inammissibile a causa della mancanza di una parallasse stellare.

La precisione delle sue osservazioni fu di grande importanza e preparò la strada al suo successore Kepler.

Quando  Galileo  incominciò  le sue osservazioni  col  cannocchiale,  poté provare scientificamente la validità del sistema Copernicano.

Il rilievo della Luna, la forma sferica dei pianeti, i quattro  principali satelliti  di  Giove e lo studio dei loro movimenti che  rivelano  in  quel complesso un sistema planetario in proporzioni minori e, prova decisiva, le fasi che mostravano al cannocchiale i due pianeti Venere e Mercurio con  le quali  veniva assodato matematicamente che i due pianeti  interni  dovevano muoversi intorno al Sole.

Kepler  che fu dapprima collaboratore e poi successore di Ticone a  Praga, dopo  laboriosi e lunghi tentativi e calcoli giunse alle tre celebri  leggi che portano il suo nome.

Per determinare la forma esatta delle orbite dei pianeti egli, non potendo osservare  dalla Terra le posizioni e neanche le direzioni di  nessuno  dei pianeti, operò indirettamente come segue.

Ricordiamo  intanto che la rivoluzione sinodica di un corpo celeste è il periodo  intercorrente tra due identiche posizioni dell’astro e della  Terra rispetto  al Sole. Questo periodo lo indichiamo con S. Con T indichiamo  il periodo di rivoluzione della Terra e con P l’analogo periodo di un pianeta.

Supponiamo  che  le  orbite  siano concentriche  e  complanari.  Allora  la velocità relativa della Terra rispetto al pianeta sarà la differenza  delle velocità 1/T e 1/P rispetto al Sole. Quindi per un pianeta esterno avremo:

1/T – 1/P = 1/S e per un pianeta interno: 1/P – 1/T = 1/S.

Ora,  mentre  le rivoluzioni siderali sono costanti,  per  la  rivoluzione sinodica  occorre  considerare la media relativa ad un lungo  intervallo  di tempo perché le orbite non sono né concentriche, né complanari, né circolari.

A questo punto Kepler poteva determinare P per un pianeta esterno mediante la  seguente  formula  che segue facilmente  dalla  prima  delle  relazioni precedenti:

P = (S*t)/(S-T)

Il pianeta prescelto, con felice intuizione, fu Marte. Questo si  avvicina molto alla Terra e ha un’orbita relativamente molto eccentrica e per questo aveva  dato  problemi  in tutti i tempi e Ticone  gli  aveva  dedicato  una particolare   attenzione   accumulando   un   numero   abbondantissimo   di osservazioni.

La  rivoluzione  sinodica di Marte è di 2,135 anni e mediante  la  formula vista  sopra si ottiene P = 1,881 anni. Quindi in due epoche a distanza  di 1,881 anni il pianeta deve trovarsi nello stesso punto M della sua  orbita (Fig.  3).

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differenti A e B della sua orbita che Kepler suppose inizialmente,  secondoIn  queste  epoche però la Terra  si  trova  in  due  posizioni la teoria di Copernico, circolare e un poco eccentrica intorno al Sole.

Le  due  direzioni in cui era visto Marte dalla Terra,  date  mediante  le coordinate  sferiche,  erano  conosciute da Kepler dalle  lunghe  serie  di osservazioni  Ticoniane, o direttamente osservate in tali epoche, o facilmente  interpolabili  dalle  epoche vicine. Il punto d’incontro  tra queste  due direzioni (M) fornisce una completa posizione  eliocentrica  di Marte,  cioè la direzione spaziale e la distanza (riferita al raggio  della orbita  terrestre).

Le distanze SA e SB furono desunte provvisoriamente da Kepler dalla vecchia teoria delle orbite circolari  eccentriche.

L’angolo ASB  si ottiene per differenza delle longitudini del Sole gBS – gAS  e  gli angoli  SAM e SBM analogamente dalla differenza delle longitudini osservate fra Marte e il Sole cioè SAM = gAS + gAM,  SBM = 2p -(gBS + gBM).

Si hanno quindi tutti gli elementi per calcolare per via trigonometrica la distanza SM e la longitudine gSM di M.

Combinando  con tale procedimento diverse coppie di punti di  osservazione Kepler  ottenne un certo numero di punti dell’orbita di Marte che tentò  di controllare,  specialmente nelle distanze dei punti dal Sole,  mediante  le formule  fino allora usate del moto circolare eccentrico. Egli  si  accorse che  i  detti  punti non erano rappresentati con la  precisione  che  si aspettava e, visto che i risultati si discostavano dalle previsioni più  di quanto potesse essere dovuto a errori delle osservazioni di Ticone,  giunse alla conclusione che le orbite non potevano essere circolari.

Provando  invece a calcolare le distanze con la formula che dà  il  raggio vettore di un’ellisse egli vide che i punti derivati dalle osservazioni si accordavano  molto meglio con i calcoli. Inoltre confrontando  le  distanze tra  i singoli punti coi tempi impiegati da Marte a percorrerle, trovò  che la velocità del pianeta non era in tutti i punti la stessa.

Con  ciò  egli aveva scosso, senza alcuna assunzione ipotetica,  il  dogma millenario dei moti circolari uniformi.

Kepler  ripeté tutto il procedimento assumendo per orbita della Terra,  in

luogo   del  circolo  eccentrico  (che  fortunatamente,  per   la   piccola eccentricità  dell’orbita reale della Terra, non aveva intralciato i  primi risultati) un ellisse e, facendo varie prove circa la forma e la  posizione di questa fino ad avere la migliore concordanza con le osservazioni, giunse così al seguente enunciato che è la I legge di Kepler:

Le orbite dei pianeti sono ellissi e il Sole ne occupa uno dei fuochi.

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Ricordiamo che l’angolo v (fig. 4) dalla linea degli absidi al pianeta  in R partendo dal perielio P e misurato in senso diretto (antiorario) da 0° a 360° si chiama anomalia vera e r è il raggio vettore.

Dall’equazione  in  coordinate ortogonali dell’ellisse si  può  facilmente ottenere l’equazione in coordinate polari col polo nel Sole e l’asse polare positivo diretto verso il perielio.

  e=(c/a),       e²=(a²-b²)/a²,       (x²/a²)+(y²/b²)=1

Per la trasformazione in coordinate polari e la traslazione abbiamo :

 x – ea = r cos v;      y = r sen v

                     [(r cos v + ea)²/a²]+[(r²sen²v)/1]=1

dopo alcuni passaggi abbiamo la seguente equazione di 2° grado in r :

     (1 – e² cos² v)r²  + 2ea cos v(1-e²)r – a² + 2e²a²  – e4a² = 0

che risolta ci dà :

                        r=[a(1 – e²)]/(1 + e cos v)

che è detta equazione dell’orbita.

Kepler  aveva  trovato la legge delle aree prima di  determinare  l’esatta forma  delle  orbite.

Per studiare il moto esatto della terra egli considerava il pianeta Marte in diverse epoche, tutte distanti tra loro del tempo P (1,881 anni).

Quindi mentre il pianeta si troverà  nello  stesso punto M, la terra si trova nei punti T1,T2,T3….. ecc. tutti  situati,(fig.5)

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secondo  la teoria antica, sopra un circolo eccentrico rispetto al  Sole  e tale che i tratti percorsi nel frattempo siano uguali.

Assunti  per gli angoli T1SM, T2SM, … tra i raggi vettori della Terra  e di  Marte nelle dette epoche i valori risultanti dalle  teorie  Copernicane dei circoli eccentrici, egli conosceva nei triangoli ST1M, ST2M, ecc. tutti gli angoli in quanto ché gli angoli in T1,T2,… gli erano forniti direttamente dall’osservazione e quindi poteva calcolare i rapporti

T1S/SM,     T2S/SM, …,  Tn/SM

delle singole distanze della Terra dal Sole a quella di Marte dal Sole e da questi, infine i rapporti tra le singole distanze della terra dal Sole.

Così Kepler scoprì che il rapporto della distanza perielia e quella afelia della Terra non conduceva all’eccentricità  dell’orbita  conosciuta  fino allora ma alla metà (0,017) perciò egli aveva trovato necessario introdurre l’equante anche per l’orbita della Terra in posizione simmetrica col Sole rispetto al centro del deferente. (fig. 6)

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In  tali condizioni i due angoli eliocentrici a e b saranno  descritti in tempi uguali dal raggio vettore della Terra dato che i rispettivi archi di traiettoria  ab e a’b’ corrispondono a uguali angoli in M centro  del  mot angolare uniforme.

Per l’eccentricità e =c/r si ha

 (SP/SA=(MA/MP=(a’b’/ab)=(SA/SP)(b/a) e anche (r-c)/(r+c)=(1-e)/(1+e)=[(1+e)/(1-e)](b/a)

da cui, trascurando perché piccolissimo, segue:

(1/2)[(a-b)/(a+b)]

cioè effettivamente la metà dell’eccentricità determinata senza l’ipotesi dell’equante.

Ma  nel  moto così definito vale, intorno alla linea degli absidi  AP,  la cosiddetta  legge delle aree, secondo la quale le aree descritte dal  raggio vettore  della  Terra  in  tempi uguali  sono  equivalenti.  Infatti  dalle precedenti relazioni abbiamo:

                              (a/b)=(1+e)²/(1-e)²=(r+c)²/(r-c)²

Area Sab = (1/2)(r-c)²·a = (1/2)(r-c)²·[(r+c)²/(r-c)²·b = (1/2)(r+c)²·b = Area Sa’b’ .

Kepler  estese questa legge a tutto il moto del circolo eccentrico e  dopo aver  trovato la vera forma dell’orbita verificò che la stessa legge  delle aree veniva soddisfatta sull’ellisse e per tutti i pianeti.

III legge di Kepler

Kepler che ricercava un principio universale nel moto dei pianeti, perfezionando l’antica teoria dei poliedri regolari, cercava di inscrivere le orbite dei pianeti in poliedri in modo che queste fossero tangenti alle facce dei poliedri, vedendo in ciò un segno della perfezione divina.

Abbandonate queste vecchie idee e sapendo da Copernico che non solo le velocità angolari dei pianeti, ma anche  quelle  lineari  decrescono con l’aumentare  della  distanza dei pianeti dal Sole, cosicché  le  durate  di rivoluzione  vanno  crescendo  con le distanze,  tentò  per  via  puramente empirica  di trovare una dipendenza tra queste distanze e le velocità o  le durate di rivoluzione.

Ma soltanto dieci anni dopo la scoperta delle  prime due  leggi (pubblicate nel 1609) trovò questa legge generale.

E’ la terza legge di Kepler :

I  quadrati  dei tempi di rivoluzione dei pianeti stanno  tra  loro  nello stesso rapporto dei cubi delle rispettive distanze medie:

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Consideriamo  ora la seguente importante conseguenza della terza legge  di Kepler.

 Per orbite circolari l’accelerazione centripeta, come sappiamo, è:

    ac= (V²/r)=(4p²r/P²)

e per la terza legge di Kepler

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cioè le  accelerazioni  centripete di due pianeti  qualsiasi  sono inversamente proporzionali ai quadrati delle rispettive distanze dal Sole.

Un tentativo di ricondurre tutti i moti planetari ad un unica origine fu quello di Cartesio (1630) con la teoria dei vortici, secondo la quale il Sole e tutto il sistema planetario doveva trovarsi immerso in un mezzo fluido entro il quale il Sole e i pianeti dovevano generare con la loro rotazione dei vortici che mettevano in rotazione la materia fluida circostante fino alle parti più lontane e così la rotazione del Sole trascinava i pianeti a ruotare intorno ad esso e i pianeti trascinavano i satelliti.

Ma questa concezione era una pura ipotesi senza appoggio matematico e senza basi osservazionali.

Newton (1643 – 1727) partì dall’osservazione che sulla Terra tutti i corpi lasciati liberi si muovono verso il centro di questa sollecitati da una forza ugualmente diretta che non mostra variazioni apprezzabili dalla superficie del mare alle vette più alte dei monti.

Egli considerava lecito quindi, estendere l’azione della suddetta forza centrale terrestre fino alla distanza della Luna a trattenerla nella sua orbita quasi circolare intorno alla Terra. Il principio d’inerzia assicurava  che la Luna continuasse nel suo moto di rotazione senza altra causa esterna e la conseguenza della terza legge di Kepler che abbiamo visto prima giustificava l’ipotesi che l’intensità di questa forza  fosse decrescente col quadrato della distanza.

 Per verificare questa ipotesi egli procedette come segue.

 Se g è l’accelerazione di gravità, cioè della forza alla superficie della Terra, quindi alla distanza R dal centro della Terra; r la distanza  della Luna dalla Terra e ac  l’accelerazione della Luna (verso la Terra), si  deve avere :

        g : ac  = r²: R²  à   g =(r²/R²)·ac

 Ma abbiamo visto che  ac = 4p²r/P²

Quindi supponendo circolare l’orbita della Luna; indicando con P il periodo siderale medio della Luna  27d7h43m12s

 egli ottenne

 g =4p²r³/  P²R²

che poteva confrontare col valore di g ricavato dalle osservazioni sulla Terra (9,8 m/s²). Il primo calcolo di Newton, fatto nel 1666, condusse a un disaccordo, avendo egli assunto per R il valore di 5250 Km, allora adottato e, intuendo che il risultato sfavorevole doveva dipendere dalla scarsa precisione del valore ora detto, decise di abbandonare questa via in attesa di dati migliori.

Inventato quello che oggi è il calcolo differenziale e integrale egli, conoscendo già per via geometrica e quindi approssimata, la conseguenza della legge delle aree secondo la quale la forza doveva essere sempre  diretta  verso il Sole e conoscendo la legge della  variazione  di questa forza con la distanza per orbite circolari, dimostrò che queste due proprietà sono rigorosamente soddisfatte anche per le orbite ellittiche.

Per  la  prima consideriamo un settore infinitesimo dA dell’orbita  di  un pianeta (fig. 7)

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descritto in un tempo dt i cui lati saranno r e r+dr, mentre l’angolo racchiuso sarà dv.

L’area sarà dA = 1/2 r(r+dr)sen dv  e quindi, a meno di infinitesimi di ordine superiore dA = 1/2 r²dv.

Cosicché la 2ª legge di Kepler può essere espressa nella forma r²dv/dt = a,

con a = costante.

Indichiamo da ora con v^ = dv/dt v ^^=d²v/dt²

Derivando la precedente relazione rispetto al tempo si ottiene,  dividendo

per r,

       2rv ^^+ rv^^ = 0

Si vede che questa espressione ha le dimensioni di un’accelerazione lineare, ma per comprenderne meglio il significato facciamo un accenno allo studio del problema dei due corpi.

Dati due corpi di massa complessiva M soggetti soltanto alla loro mutua attrazione gravitazionale, si può dimostrare che si muoveranno l’uno verso l’altro con traiettoria rettilinea se partono dallo stato di quiete e con una traiettoria piana (parabolica, ellittica o iperbolica),se partono da uno stato di moto relativo rettilineo uniforme.

Le equazioni del moto rispetto a uno dei due corpi sono le seguenti :

      X^^= – GM(X/r³) 

Le equazioni del moto si ottengono ricordando che

      r²=X²+Y²                                          mX^^ = F cos q , cos q = X/r

     

      Y^^= – GM(Y/r³)                             mY^^= F sen q , sen q = Y/r

Trasformando in coordinate polari abbiamo X = r cos q, Y = r sen q.

Derivando queste relazioni due volte rispetto al tempo e sostituendo nelle equazioni del moto si ottengono due equazioni che, moltiplicate dapprima rispettivamente per cos q e sen q e sommate, e poi per – sen q e cos q e sommate,  danno  le  seguenti due  equazioni  differenziali  in  coordinate polari:

         r – rq² = -GM/r² ,  r q + 2r q = 0

che ci fanno vedere come la componente radiale dell’accelerazione dipenda direttamente  dalla  massa complessiva e inversamente  dal  quadrato  della distanza mentre la componente trasversale è nulla.

La 2ª legge di Kepler quindi implica che la componente trasversale della accelerazione nel moto orbitale sia nulla.

     ar = r  – rv² ; at = 2r v + r v

L’accelerazione e quindi anche la forza è puramente radiale, cioè diretta sempre al Sole.

La seconda proprietà, cioè il decrescere della forza col quadrato della distanza nelle orbite Kepleriane, si ottiene anche combinando opportunamente l’espressione dell’accelerazione radiale ar con l’equazione dell’orbita nelle stesse coordinate polari :

                        r = P/(1+e cos v)                                                                      [ p = a·(1-e²)]

                   

r =(e/p) r²v sen v =(ea/p) sen v ,  r =(ea/p) v cos v = ( a²/p)(1/r²)e cos v

e perciò ar = (1/r²)[(a²/p) e cos v – (a²/r)]= (a²/p)(1/r²)·[e cos v- (P/r)]=-( a²/p)(1/r²)

L’accelerazione e quindi la forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza ( essendo a e p costanti) e diretta verso il Sole (segno -).

Dopo quasi 20 anni, Newton disponendo di un valore più esatto di R (raggio terrestre) ripeté il calcolo di g ottenendo un perfetto  accordo  fra  il valore calcolato e quello misurato.

Questo brillante risultato, secondo il quale dunque la forza che fa cadere i  corpi sulla superficie della Terra è anche quella che agisce sulla Luna obbligandola a descrivere la sua orbita intorno alla Terra, dava a questa forza un  carattere di universalità, in quanto ché faceva  vedere  che  essa emanava  non  solo dal Sole regolando il moto dei pianeti, ma anche  dallaTerra, regolando il moto della Luna, sempre essendo inversamente proporzionale al quadrato della distanza.

Occorreva infine stabilire il significato o un’espressione più precisa per il coefficiente di proporzionalità per avere la relazione completa per  la forza attrattiva.

Confrontando il moto della Terra intorno al Sole e quello della Luna intorno alla Terra, Newton si accorse che la forza che dal Sole agiva sulla Terra doveva essere molto più intensa di quella che dalla Terra agiva sulla Luna.

Infatti  l’accelerazione aT  della Terra (dovuta al  Sole) e quella della Luna aL (dovuta alla Terra) nelle rispettive orbite  anche  supposte circolari sono con sufficiente esattezza:

aT =( 4p²D/P²T );    aL  = (4p²r/P²L  );   

con D,r,PT e PL le rispettive distanze e periodi di rivoluzione.

Da queste segue dapprima : aT =(D/r)(P²L ·/P²L)·aL

e  se  la  Terra si immagina alla distanza r dal Sole  (dunque  alla  stessa distanza  della  Luna  dalla Terra), si ha per  l’accelerazione  a0  a tale distanza, avendosi  a0 : aT = D²:r²

                                    a0 =(D/r)³·(PL / PT)²·aL

Ora, si  ha  in cifre tonde D = 390·r , PT = 13,37·PL , per  cui  fatti i calcoli  risulta  a0 = 33000·aL , dunque per l’attrazione  del  Sole  sulla Terra  un’accelerazione  enormemente superiore a  quella  della  attrazione analoga della Terra sulla Luna.

Ciò giustifica pienamente la supposizione di Newton che la massa dei corpi debba  entrare ad avere una importanza fondamentale nell’espressione  della forza e giustifica l’enunciato provvisorio, ma poi diventato definitivo per le numerosissime conferme ricevute dall’applicazione, della legge dell’attrazione universale nella forma:

Due  punti  materiali  qualunque si attraggono a  vicenda  con  una  forza direttamente proporzionale alle due masse ed inversamente proporzionale  al quadrato della distanza reciproca.

                        F = G (M1M2/ R²)

Il primo enunciato di questa legge fu dato da Newton alla Royal Society di Londra  nell’agosto  del 1684 e qualche anno dopo, nel 1687, venne  la  sua opera monumentale Philosophiae naturalis principia mathematica.

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