Il problema di Kepler

Sia t l’istante nel quale un pianeta viene a trovarsi in un punto R della sua orbita (fig. 9) e T l’istante in cui esso è passato per il perielio P,

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29 April 2020

fig. 9

 

cosicchè sarà t-T l’intervallo di tempo impiegato a percorrere l’arco PR.

Se As è l’area del settore ellittico descritto dal raggio vettore del pianeta nel tempo t-T ed Ae è l’area dell’ellisse intera, si deve avere per la 2a legge di Kepler As : Ae = (t-T) : P, essendo P il periodo siderale.

Essendo abp l’area dell’ellisse, segue per quella del settore :

 As = abp ¾Pt-T

cosicchè, essendo conosciuto P si può calcolare As.

Da questo settore è necessario poi passare all’angolo formato dai due raggi vettori che lo racchiudono, cioè all’angolo fra il raggio vettore del pianeta all’istante considerato t e la linea degli absidi diretta al perielio; angolo indicato con v e detto anomalia vera.

 E’ il cosiddetto problema di Kepler.

C è il centro dell’orbita ellittica, S il Sole (nel fuoco), P il perielio, A l’afelio, R la posizione del pianeta nella sua orbita al tempo t.

Inoltre sia PTA il cerchio di centro C e raggio a = CP, T il punto di questo in cui l’ordinata di R lo incontra, R’ l’incontro della proiezione della stessa ordinata sulla linea degli absidi.

Il luogo R del pianeta è determinato dal raggio vettore SR = r e dalla sua anomalia vera v.

Per la soluzione di questo problema è necessario introdurre l’angolo TCP = E, che viene chiamato anomalia eccentrica e si determina dapprima questo angolo ausiliario in funzione degli elementi e dell’intervallo t-T.

Ricordando che tutte le ordinate dell’ellisse stanno a quelle corrispondenti del cerchio circoscritto nel rapporto b : a, abbiamo:

RR’ : TR’ = b : a, per cui intanto, le aree dei due triangoli SR’R e SR’T, avendo uguali le basi, stanno pure nel rapporto b : a;  per lo stesso motivo anche le due aree PR’R e PR’T stanno nello stesso rapporto b : a, come risulta se si immaginano divise queste aree in tante aree sottili mediante numerose ordinate, per cui segue allora :

 (PR’R + SR’R) : (PR’T + SR’T) = b : a

I primi due termini della precedente relazione sono i due settori PSR e PST e avendo già indicato con As l’area del primo, si ha :                                                   

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Ma  l’area PST è la differenza tra l’area del settore circolare PCT  e  il triangolo CST , ed avendosi :

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segue

         

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e quindi

1)

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che è la cosiddetta equazione di Kepler.

Trovato   con la risoluzione della precedente  equazione,  è  necessario passare  alla  anomalia vera v.

Poichè CR’ = CS + SR’,  esprimendo  questi segmenti mediante a, e, E, v, si ottiene a cos E = ae + r cos v .

Scrivendo l’equazione dell’orbita nel modo seguente :

             

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che darebbe già v in funzione di E.

Si preferisce un’espressione con la tangente anzichè il coseno e si trasforma quest’ultima relazione nel seguente modo:

                       

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e per divisione :

                                               

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e quindi

                                         

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2)

 

Il doppio segno che dovrebbe avere il 2° termine non serve perchè v ed E sono sempre compresi entrambi tra 0° e 180° oppure tra 180° e 360°.

Trovata l’anomalia vera non occorre altro che il raggio vettore e questo può essere calcolato mediante v dall’equazione dell’ orbita o dalla relazione a cos E = ae + r cos v che abbiamo visto in precedenza.

Combinando, però, le due relazioni ora ricordate, si ottiene un’espressione più semplice :

r + re cos v = a(1-e²)

re cos v = a(e cos E – e²)

e quindi sottraendo si ha :

                            r = a(1-e cos E)                              3)

Col gruppo di formule 1), 2), 3) che risolvono il problema di Kepler sono facilmente calcolabili le due coordinate polari orbitali v ed r del pianeta per qualunque istante t quando sono conosciute le quantità geometriche a ed e dell’ellisse orbitale e il tempo T.

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